С 1935 г. учился в студии при МИИТ у художника Аникиты Петровича Хотулёва, ученика И.Е.Репина.
В 1941 г. окончил Московское художественное училище им.1905 года, затем учился на худграфе Московского государственного педагогического института им.В.И.Ленина (МГПИ).
В 1950 г. поступил на работу в МГПИ на факультативные курсы рисования, а в 1954 г. возглавил их.
С 1960 г. и вплоть до своей смерти Кукунов М.М. был бессменным руководителем отделения худграфа (вторая специальность).
За годы своего преподавания воспитал более 1000 учеников – студия Кукунова М.М. недаром носила название «Парнас».
Заслуженный работник культуры Российской Федерации.
Награждён медалью «За трудовую доблесть» и медалью К.Д.Ушинского.
Работы художника находятся в отечественных и зарубежных музеях, частных собраниях.
В 2018 г. Московский зоопарк организовал тематическую выставку «Живые образы: птицы и звери Московского зоопарка», посвященную 100-летию со дня рождения выдающегося художника-анималиста М.М.Кукунова (куратор – Заслуженный художник РФ Маковеева И.П.).
В рамках церемонии открытия выставки состоялась презентация альбома, опубликованного его учениками: Художник Михаил Максимович Кукунов (1918-1998). К 100-летию со дня рождения [Текст] / [составители – Ирина Маковеева, Лариса Гущина]. – Москва: Print Up, 2018. – 112 с.